Integral Fungsi Rasional (5)

Fungsi Rasional

Dalam matematika, sebuah fungsi yang disebut sebagai fungsi rasional adalah pembagian dua fungsi polinomial. Misalnya

f(x) = ^p(x)/_q(x)

Dekomposisi Fungsi Pecahan

Dekomposisi pecahan parsial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional. Misalnya f(x)= (5x-1)/(x² -1) dirubah menjadi f(x) =2/(x-1) + 3/(x+1)

Tahapan Dekomposisi Pecahan

Jika f (x) improper (bukan fungsi rasional sebenarnya) maka p(x) dibagi dengan q(x) sehingga f(x) =M(x) + N(x)/D(x)
Faktorkan D(x) menjadi perkalian faktor linier dan kuadrat tak terreduksi.
Setiap faktor berbentuk (ax + b)^k buat dekomposisi A1/(ax + b)+ A2/(ax + b)²+ . . . + Ak/(ax + b)^k
Setiap faktor berbentuk (ax² + bx + c)^m buat dekomposisi (B1x+C1)/ (ax² + bx + c) + (B2x+C2)/ (ax² + bx + c)² + . . . + (Bmx+Cm)/ (ax² + bx + c)^m
Atur bentuk N(x)/D(x) sama dengan penjumlahan semua suku yang ditemukan pada langkah 3 dan 4. Jumlah konstanta yang ditentukan harus sama dengan derajat polinomial penyebut D(x)
Kalikan kedua sisi persamaan yang ditemukan pada tahap 5 dengan penyebut D(x) sehingga terbentuk persamaan baru, sesuaikan solusi untuk setiap konstanta yang dicari dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi.

Fungsi rasional yang dimaksud adalah fungsi-fungsi berbentuk $\dfrac{p(x)}{q(x)}$ , dengan $p(x)$ dan $q(x)$ masing-masing suatu polinom derajat $m$ dan $n$ , $(m < n)$ .

$p(x) = p_0 + p_1 x + p_2 x^2 + ... + p_m x^m , p_m \neq 0$ disebut polynomial derajat $m$ .

Teknik Teknik pengintegralan fungsi rasional didasarkan pada penguraian bentuk $\dfrac{p(x)}{q(x)}$ menjadi bentuk yang lebih sederhana berdasarkan faktor dari polinomial $q(x)$ . Bentuk inilah yang lalu diintegralkan.

Contoh :

$\displaystyle \int \dfrac{2x+1}{x^2-3x+2} dx = \int \dfrac{2x+1}{(x-1)(x-2)} dx$

= $\displaystyle \int \dfrac{A}{x-1} dx + \int \dfrac{B}{x-2} dx$

$A$ dan $B$ dapat dicari melaui hubungan :

$\dfrac{2x+1}{x^2-3x+2} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x-2}$

= $\dfrac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}$

$\Leftrightarrow 2x + 1 = A(x-2) + B(x-1)$

$\Leftrightarrow 2x + 1 = (A + B)x - 2A - B$

$\Leftrightarrow (A + B) = 2$ dan $-2A - B = 1$

$\Leftrightarrow A = -3$ dan $B = 5$

= $\displaystyle \int \dfrac{-3}{x-1} dx + \int \dfrac{5}{x-2} dx$

misal : $u = x - 1 \Rightarrow du = dx$

$v = x - 2 \Rightarrow dv = dx$

= $\displaystyle \int \dfrac{-3}{u} du + \int \dfrac{5}{v} dv$

= $-3 \ln(u) + 5 \ln(v) + C$

= $-3 \ln(x-1) + 5 \ln(x-2) + C$

= $\ln \dfrac{(x-2)^5}{(x-1)^3} + C$

Aturan yang dapat dipedomani untuk penguraian bentuk $\dfrac{p(x)}{q(x)}$ sebagai berikut :

Untuk setiap faktor dari $q(x)$ berbentuk $(ax+b)^k$ , maka penguraian faktor tersebut berbentuk :
$\dfrac{A_1}{ax+b} + \dfrac{A_2}{(ax+b)^2} + \cdots + \dfrac{A_k}{(ax+b)^k}$
Untuk setiap faktor dari $q(x)$ berbentuk $(ax^2 + bx + c)^k$ , maka penguraian faktor tersbut berbentuk :
$\dfrac{A_1 x+B_1}{ax^2+bx+c} + \dfrac{A_2 x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2} + \cdots + \dfrac{A_k x+B_k}{(ax^2+bx+c)^k}$

Cari Blog Ini

Kalkulus 2 Teknik Informatika

Integral Fungsi Rasional (5)

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Menghitung Volume Benda pada Koordinat Polar (12)